Система двух равных по модулю, параллельных и направленных в противоположные стороны сил, действующих на абсолютно твердое тело. Действие пары сил на твердое тело сводится к некоторому вращательному эффекту, который характеризуется величиной - момент пары.

Он определяется:

Его модулем = F*d. d - расстояние между линиями действия сил пары, называется плечом пары.

Положением в пространстве плоскости действия пары.

Направлением поворота пары в этой плоскости.

Момент пары сил - вектор m(или M), модуль которого равен произведению модуля одной из сил пары, на ее плечо, и который направлен перпендикулярно плоскости действия пары в ту сторону, откуда пара видна стремящейся повернуть тело против хода часовой стрелки.

Две пары, лежащие в || плоскостях и имеющие одинаковый момент эквивалентны.

Все пары в пересекающихся плоскостях можно заменить одной парой с моментом, равным сумме моментов этих пар. Для абсолютно твердого тела пара - свободный вектор, определяемы только моментом. Момент перпендикулярен плоскости образуемой парой.

Пару можно заменить параллельной ей равной силе и парой с моментом, равным произведению этой силы на расстояние до новой точки приложения.

Теоремы о парах .

1) Две пары, лежащие в одной плоскости, можно заменить одной парой, лежащей в той же плоскости, с моментом, равным сумме моментов данных двух пар. .

2) Две пары, имеющие геометрически равные моменты, эквиваленты.

3) Не нарушая состояния твердого тела, пару сил можно переносить в плоскости ее действия. Т.е. момент пары сил является свободным вектором.

4) Система нескольких пар сил эквивалента одной паре, момент которой равен векторной сумме моментов данных пар. Т.е. система пар приводится к одной паре, момент которой равен сумме моментов всех пар. Условие равновесия пар сил: - геометрическая сумма их моментов равна 0. Пары сил, расположенные в одной плоскости, взаимно уравновеш-тся, если алгебраическая сумма их моментов åМ i =0.

Момент силы относительно точки - вектор, численно равный произведению модуля силы на плечо и направленный перпендикулярно плоскости, содержащей силу и точку, в такую сторону, чтобы смотря ему навстречу, видеть силу стремящейся повернуться против хода час.стрелки. Плечо "h"- кратчайшее расстояние от точки до линии действия силы. - момент силы равен векторному произведению вектора на вектор . Модуль векторного произведения: R×F×sina = F×h. Для плоской сист. сил обычно находят не вектор момента, а только его модуль: ± F×h, >0 - против час.стр.; x, F y , F z - проекции силы на оси координат и точка 0 - начало координат, то

= (yF z - zF y) + (zF x - xF z) + (xF y - yF x) , откуда проекции момента силы на оси коорд.: М 0 x () = yF z - zF y ; М 0 y () = zF x - xF z ; М 0 z () = xF y - yF x .

Главный вектор - векторная сумма всех сил, приложенных к телу. Главный момент относительно центра - векторная сумма моментов всех сил, приложенных к телу относительно того же центра.

Теорема (лемма) о параллельном переносе силы : сила приложенная в какой-либо точке тверд. тела, эквивалента такой же силе, приложенной в любой др. точке этого тела, и паре сил, момент которой равен моменту данной силы относительно новой точки приложения.

Понятием алгебраического момента пары удобно пользоваться, если все пары лежат в одной плоскости. Теперь представим, что требуется рассмотреть пары, плоскости действия которых, по отношению друг к другу, расположены в пространстве. В этом случае вводится понятие векторного момента пары. По аналогии с векторным моментом силы относительно центра, векторный момент пары должен определять:

плоскость действия данной пары;

направление вращения пары в этой плоскости;

численное значение момента пары.

Таким образом, модуль этого вектора должен выражать в произвольно выбранном масштабе численное значение момента пары, а направление этого вектора должно определять направление перпендикуляра к плоскости

действия пары. Принято направлять векторный момент пары по перпендикуляру к ее плоскости в ту сторону, чтобы, смотря с его конца на пару,

видеть эту пару вращающей тело против хода часовой стрелки (рис. 25).

Исходя из того, что действие пары на тело не зависит от ее положения в своей плоскости действия, точка приложения векторного момента пары значения не имеет. Условно, за эту точку принимают середину отрезка, соединяющего точки приложения сил данной пары.

Сложение пар. Условия равновесия пар

Теорема о сложении пар, лежащих в одной плоскости. Система пар, лежащих в одной плоскости, эквивалентна одной паре, лежащей в той же

плоскости и имеющей момент равный алгебраической сумме моментов слагаемых пар.

Доказательство: Пусть на тело действуют три пары с моментами ,
,
(рис. 26,а ). На основании теоремы об эквивалентности пар мы можем заменить эти пары тремя парами
,
,
, имеющими общее плечои такие же моменты:
,
,
(рис. 26,б ). Складывая отдельно силы, приложенные в точках и, получаем в точкесилу, а в точкесилу, которые по модулю будут равны(рис. 26,в ).

В результате вся система пар заменяется одной парой
с моментом. Для случая из «» пар с моментами,
, …
, система заменяется одной парой с моментом
. Если пары расположены в пространстве, то можно перейти к векторному равенству
. Проектируя это векторное равенство на оси декартовой системы координат, получаем
,
,
.

Отсюда получаем условие равновесия системы пар : для равновесия системы пар необходимо и достаточно, чтобы момент результирующей пары был равен нулю
.

Геометрическое условие равновесия :для равновесия произвольной системы пар необходимо и достаточно, чтобы векторный момент результирующей пары был равен нулю
.

Аналитическое условие равновесия :
или через проекции на оси
,
,
. (7)

Тема 5. Приведение системы сил к центру

Пусть на тело действует система из «» сил, лежащих в одной плоскости.

Мы умеем их складывать, если они пересекаются в одной точке или они параллельны. Однако, если эти силы в плоскости расположены произвольно, то появляется необходимость привести эти силы к какому то центру. Покажем эту процедуру приведения силы к данному центру на примере одной силы. Теорема.Любая данная сила эквивалентна такой же по модулю и направлению сил, но приложенной в другой точке тела и некоторой паре.

Дана сила, приложенная в точке(рис. 27,а ). Требуется привести эту силу к произвольно выбранному центру причем так, чтобы состояние тела при этом не изменилось. Прикладываем в точкедве прямопротивоположные силы
и
, равные по модулю силе(рис. 27,б ). Тогда силы и
образуют пару. Следовательно, данную силуможно заменить равной ей силой
, приложенной в любой точке тела, и парой
с моментом
, что и требовалось доказать (рис. 27,в ).

Из доказанной теоремы получаем, что данную силу можно переносить параллельно самой себе в любую точку тела с присоединением соответствующей пары. Поэтому пару
называютприсоединенной . Модуль момента присоединенной пары равен
. С другой стороны, произведение
представляет собой момент силыотносительно нового центра приведения:
.Следовательно,
, момент присоединенной пары
равен моменту силы, приложенной в старом центре относительно нового центра .

Приведение плоской системы сил к данному центру. Частные случаи приведения

Пусть на тело действует произвольная система сил,, …,, лежащих в одной плоскости (рис. 28,а ). Возьмем в этой плоскости произвольную точку , которую назовемцентром приведения , и пользуясь доказанной выше теоремой, приведем все силы в центр (рис. 28,б ).

В результате в центре получаем систему сходящихся сил и систему пар сил с моментами:
,
, …,
. Систему сходящихся сил можно заменить одной силой, приложенной в центре, при этом
. Аналогично, по теореме о сложении пар, все пары можно заменить одной парой, лежащей в той же плоскости. Момент этой пары равен
.

Величина , равная геометрической сумме всех сил системы, называетсяглавным вектором системы . Величину
называютглавным моментом системы относительно центра .

В результате получили, что при приведении произвольной плоской системы сил к какому-либо центру , получаем два вектора: - главный вектор системы и
- главный момент системы относительно центра .

Здесь следует отметить, что главный вектор системы не зависит от центра приведения, так как все силы переносятся параллельно самим себе, а главный момент системы
зависит от центра приведения, поскольку при изменении центра приведения плечи у сил будут меняться.

Рассмотрим теперь, к каким простейшим видам можно привести плоскую систему сил.

Рассмотрим два случая.

а)
,
. В этом случае система сразу заменяетсяравнодействующей , которая в данном случае будет равна главному вектору системы и она проходит через точку .

б)
,
. В этом случае система также заменяетсяравнодействующей , которая тоже будет равна главному вектору системы, но проходить она будет не через точку , а через точку. Покажем, что это действительно так, и определим положение точки. Пусть в результате приведения получили главный вектори главный момент
относительно центра(рис. 29,а ). Пару сил изобразим силами и
, причем эти силы подбираем таким образом, чтобы у нас выполнялись равенства:
,
(рис. 29,б ). Затем отбрасываем силы икак уравновешенные, получаем, что система заменяется равнодействующей
, но проходящей через точку(рис. 29,в ). Положение точки определится соотношением
.

Теорема Вариньона о моменте равнодействующей

Момент равнодействующей системы сил относительно любой точки на плоскости равен алгебраической сумме моментов составляющих сил относительно той же точки.

Рассмотрим плоскую сходящуюся систему сил, в точке (рис. 30,а ).

a б в

Заменим эту систему сил равнодействующей, приложенной в той же точке (рис. 30,б ). Определим момент этой равнодействующей относительно точки , лежащей на оси (рис. 30,в ). Разложим равнодействующую на составляющие и , каждая из которых будет определяться: ,. Определяя момент этих проекций относительно точки (рис. 30,в ), получаем, что
, так как пересекает точку . Тогда . Аналогично рассматривая каждую из сил (рис. 30,а ), получим, что момент каждой из них относительно точки будет определяться моментом проекции этих сил на ось относительно точки , т.е. , , . Учитывая, что , получаем

. (8)

Рис.37

1. Изображение момента вектором. Момент силы относительно центра О (см. рис. 37) как характеристика ее враща­тельного эффекта определяется следую­щими тремя элементами:

1) модулем мо­мента, равным произведению модуля силы на плечо, т. е. ; 2) плоскостью поворота ОАВ, проходящей через линию действия силы и центр О; 3) напра­влением поворота в этой плоскости. Когда все силы и центр О лежат в одной пло­скости, необходимость задавать каждый раз плоскость поворота ОАВ отпадает, и момент можно определять как скаляр­ную алгебраическую величину, равную , где знак указывает направление поворота.

Но в случае сил, произвольно расположенных в пространстве, плоскости поворота у разных сил будут разными и должны задаваться дополнительно. Положение плоскости в пространстве можно задать, задав отрезок (вектор), перпендикулярный к этой плоскости. Если одновременно модуль этого вектора выбрать равным модулю момента силы и условиться направлять этот вектор так, чтобы его направление определяло направление поворота силы, то такой вектор полностью определит все три элемента, характеризующие момент данной силы относительно центра О.

Поэтому в общем случае момент ) силы относительно центра О (рис. 37) будем изображать приложенным в центре О вектором , равным по модулю (в выбранном масштабе) произ­ведению модуля силы на плечо h и перпендикулярным к пло­скости ОАВ, проходящей через центр О и силу . Направлять вектор будем в ту сторону, откуда поворот, совершаемый силой, виден происходящим против хода часовой стрелки. Таким образом, вектор будет одновременно характеризовать модуль момента, плоскость поворота ОАВ, разную для разных сил, и направление поворота в этой плоскости. Точка приложения вектора определяет положение центра момента.

2. Выражение момента силы с помощью вектор­ного произведения. Рассмотрим векторное произведение x векторов и (рис. 37). По определению, ,

так как модуль вектора тоже равен 2 пл. . Направлен вектор (x ) перпендикулярно к плоскости ОАВ , в ту сторону, откуда кратчайшее совмещение с (если их отложить от одной точки) видно против хода часовой стрелки, т. е., так же, как век­тор . Следовательно, векторы (x ) и совпадают и по модулю и по направлению и, как легко проверить, по размерности, т. е. оба эти вектора изображают одну и ту же величину. Отсюда

где вектор = называется радиусом-вектором точки А относи­тельно центра О .

Таким образом, момент силы относительно центра О равен векторному произведению радиуса вектора , соединяющего центр О с точкой приложения силы А , на саму силу. Этим вы­ражением момента силы бывает удобно пользоваться при доказатель­стве некоторых теорем.

Действие пары сил на тело характеризуется: 1) величиной модуля момента пары, 2) плоскостью действия, 3) направлением поворота в этой плоскости. При рассмот­рении пар, не лежащих в одной плоскости, для характеристики каж­дой из пар необходимо бу­дет задать все эти три эле­мента. Это можно сделать, если условиться, по аналогии с моментом силы, изображать момент пары соответствую­щим образом, построенным вектором, а именно: будем изображать момент пары вектором т илиМ, мо­дуль которого равен (в выбранном масштабе) модулю момента пары, т.е. произведению одной из ее сил на плечо, и который направлен перпендикулярно плоскости действия пары в ту сто­рону, откуда поворот пары виден происходящим против хода часовой стрелки (рис. 38).

Пара сил. Момент пары.

Парой сил (или просто парой) называются две силы, равные по ве­личине, параллельные и направленные в противоположные стороны (рис.22). Очевидно, и .

Рис.22

Несмотря на то, что сумма сил равна нулю, эти силы не уравновешиваются. Под действием этих сил, пары сил, тело начнёт вращаться. И вращательный эффект будет определяться моментом пары:

.

Расстояние a между линиями действия сил называется плечом пары .

Если пара вращает тело против часовой стрелки, момент её считается положительным (как на рис.22), если по часовой стрелке – отрицательным.

Для того, чтобы момент пары указывал и плоскость, в которой происходит вращение, его представляют вектором.

Вектор момента пары направляется перпендикулярно плоскости, в которой расположена пара, в такую сторону, что если посмотреть от­туда, увидим вращение тела против часовой стрелки (рис. 23).

Нетрудно доказать, что вектор мо­мента пары – есть вектор этого векторного произведения (рис. 23). И за­метим, что он равен вектору момента силы относительно точки А , точки приложения второй силы:

О точке приложения вектора бу­дет сказано ниже. Пока приложим его к точке А .

Рис.23

Свойства пар

1) Проекция пары на любую ось равна нулю. Это следует из определения пары сил.

2) Найдём сумму моментов сил и составляющих пару, относительно какой-либо точки О (рис.24).

Рис.24

Покажем радиусы-векторы точек А 1 и А 2 и вектор , соединяющий эти точки. Тогда момент пары сил относительно точки О

Но . Поэтому .

Значит .

Момент пары сил относительно любой точки равен моменту этой пары.

Отсюда следует, что, во-первых, где бы не находилась точка О и, во-вторых, где бы не располагалась эта пара в теле и как бы она не была повёрнута в своей плоскости, действие её на тело будет одинаково. Так как момент сил, составляющих пару, в этих случаях один и тот же, рав­ный моменту этой пары .

Поэтому можно сформулировать ещё два свойства.

3) Пару можно перемещать в пределах тела по плоскости действия и переносить в любую другую параллельную плоскость.

4) Так как действие на тело сил, составляющих пару, определяется лишь её моментом, произведением одной из сил на плечо, то у пары можно изменять силы и плечо, но так, чтобы момент пары остался прежним. Например, при силах F 1 =F 2 = 5 H и плече а = 4 см момент пары m = 20 H×см. Можно силы сделать равными 2 Н, а плечо а = 10 см. При этом момент останется прежним 20 Нсм и действие пары на тело не из­менится.

Все эти свойства можно объединить и, как следствие, сделать вы­вод, что пары с одинаковым вектором момента и неважно где расположенные на теле, оказывают на него равное действие. То есть такие пары эквивалентны.

Исходя из этого, на расчётных схемах пару изображают в виде дуги со стрелкой, указывающей направление вращения, и рядом пишут величину момента m . Или, если это пространственная конструкция, по­казывают только вектор момента этой пары. И вектор момента пары можно прикладывать к любой точке тела. Значит вектор момента пары – свободный вектор.

И ещё одно дополнительное замечание. Так как момент пары ра­вен вектору момента одной из сил её относительно точки приложения второй силы, то момент пары сил относительно какой-либо оси z – есть проекция вектора момента пары на эту ось:

где – угол между вектором и осью z .

Действие пары сил на тело характеризуется: 1) величиной модуля момента пары, 2) плоскостью действия, 3) направлением поворота в этой плоскости. При рассмот­рении пар, не лежащих в одной плоскости, для характеристики каж­дой из пар необходимо бу­дет задать все эти три эле­мента. Это можно сделать, если условиться, по аналогии с моментом силы, изображать момент пары соответствую­щим образом, построенным вектором, а именно: будем изображать момент пары вектором т илиМ, мо­дуль которого равен (в выбранном масштабе) модулю момента пары, т.е. произведению одной из ее сил на плечо, и который направлен перпендикулярно плоскости действия пары в ту сто­рону, откуда поворот пары виден происходящим против хода часовой стрелки (рис. 38).

Рис. 38

Как известно модуль момента пары равен моменту одной из ее сил относительно точки, где приложена другая сила, т. е. ; по направлению же векторы этих моментов совпадают. Следовательно .

Момент силы относительно оси.

Чтобы перейти к решению задач статики для случая произвольной пространственной системы сил, необходимо ввести еще понятие о моменте силы относительно оси.

Момент силы относительно оси характеризует вращательный эффект, создаваемый силой, стремящейся повернуть тело вокруг дан­ной оси. Рассмотрим твердое тело, которое может вращаться вокруг некоторой оси z (рис. 39).

Рис.39

Пусть на это тело действует сила ,приложенная в точке А . Проведем через точку А плоскость ху , перпендикулярную оси z, и разложим силу на составляющие: , параллельную осиz, и , лежа­щую в плоскости ху ( является одновременно проекцией силы на плоскости ху ). Сила , на­правленная параллельно оси z , очевидно, не может повернуть тело вокруг этой оси (она только стре­мится сдвинуть тело вдоль оси z ). Весь вращательный эффект, создаваемый силой , будет совпадать с вращательным эффек­том ее составляющей . Отсюда заключаем, что , где символ обозначает момент силы относительно оси z .

Для силы же , лежащей в плоскости, перпендикулярной к оси z , вращательный эффект измеряется произведением модуля этой силы на ее расстояние h от оси. Но этой же величиной измеряется момент силы относительно точки О , в которой ось z пересекается с пло­скостью xу . Следовательно, или, согласно преды­дущему равенству,

В результате приходим к следующему определению: моментом силы относительно оси называется скалярная величина, равная моменту проекции этой силы на плоскость, перпендикулярную оси, взятому относительно точки пересечения оси с плоскостью.

Из чертежа (рис.40) видно, что при вычислении момента плоскость ху можно проводить через любую точку оcи z . Таким образом, чтобы найти момент силы относительно оси z (рис. 40) надо:

1) провести плоскость ху , перпендикулярную к оси z (в любом месте);

2) спроектировать силу на эту плоскость и вычислить вели­чину ;

3) опустить из точки О пересечения оси с плоскостью перпендикуляр на направ­ление и найти его длину h ;

4) вычислить произведение ;

5) определить знак момента.

При вычислении моментов надо иметь в виду следующие частные случаи:

1) Если сила параллельна оси, то ее момент относительно оси равен нулю (так как F xy =0).

2) Если линия действия силы пересекает ось, то ее момент отно­сительно оси также равен нулю (так как h = 0).