Отображения (функции). Отображение множеств функции
ОТОБРАЖЕНИЯ МНОЖЕСТВ §1. Основные определения
Определение. Пусть А и В – два множества. Говорят, что задано отображение f множества А в В, если указан закон, по которому любому элементу а из А ставится в соответствие единственный элементb из множества В:
Отображения также называют функциями .
Будем использовать следующие обозначения:
ƒ : А→ В. Отображение f множество А переводит в В;
А f В. Множество А отображается в В при отображении f.
Если элемент а при отображении f переходит в элемент b, то пишут f(a)=b (левая запись) или af=b (правая запись). Элемент b называется образом элемента а при отображении f; элемент а – прообразом b при
этом отображении. Множество { f (a ) | a A } = f (A ) – образ множества А при отображении f. Отметим, что
f (A ) B .
А B
f f(A)
А – область определения отображения f; В – область значений отображения f (иногда –например, в школьной математике – областью значений считается f(A), но мы будем ею считать В).
Отметим, что мы рассматриваем только однозначные отображения.
Из всех отображений особо выделяют следующие виды :
1. Сюръекция (отображение «на») – это отображение f : A → B такое, что f (A ) = B . При сюръекции у каждого элемента из множества В существует хотя бы один прообраз.
2. Инъекция – отображение, при котором разные элементы переходят в разные, т.е. если a , a 1 A и a ≠ a 1 , то f (a ) ≠ f (a 1 ) .
f(a1 ) |
|||||
3. Биекция, или взаимно однозначное отображение – это отображение, которое одновременно является инъекцией и сюръекцией.
Примеры отображений:.
1. Пусть А – любое множество и В – множество, состоящее из одного элемента, т.е. B={b}.
А . b
Отображение f (a ) = b , a A является сюръекцией, т.к. f(A)=B.
2. Пусть множество А – некоторый отрезок на плоскости, множество В – прямая. Из каждой точки отрезка А опустим перпендикуляр на прямую В и основания этих перпендикуляров поставим в соответствие точкам отрезка А.
А а
φ(а) В
Обозначим это отображение через φ. Очевидно,
ϕ (a ) ≠ ϕ (a 1 ), a , a 1 A , a ≠ a 1 .
Следовательно, отображение φ – инъекция (но не является сюръекцией).
3. Пусть множество А – гипотенуза прямоугольного треугольника, а В – его катет. Любой точке гипотенузы поставим в соответствие её проекцию на катет. Получим взаимно однозначное отображение А на В:
т.е. f – биекция.
Отметим, что именно так в математике доказывается, что «количество» точек на гипотенузе и катете одинаково (точнее, эти множества имеют одинаковую мощность).
Замечание. Нетрудно придумать отображение, которое не является ни сюръекцией, ни инъекцией, ни биекцией.
4. Если f – любая функция действительного переменного, то f – отображение R в R.
§2. Умножение отображений
Пусть А, В, С – три множества и заданы два отображения f : A → B и ϕ : B → C .
Определение 1. Произведением этих отображений называется отображение, которое получается в результате последовательного их выполнения.
ϕ f
Возможны два варианта записи.
1. Левая запись. |
||
ƒ (a)=b, ϕ (b)=c. |
обозначить ϕ f : |
|
Тогда произведение f и φ будет |
переводить а в с, его следует |
|
(ϕ f ) (a ) = ϕ (f (a ) ) = ϕ (b ) = c , ϕ f : A → C (см. выше рисунок). |
||
По определению (ϕ f ) (a ) = ϕ (f (a ) ) , |
т.е. произведение отображений – |
это сложная функция, |
заданная на А. |
||
2. Правая запись.
aƒ =b, bϕ =c. Тогда a (f ϕ ) = (af ) ϕ = b ϕ = c ,
f ϕ : A → C.
Мы будем пользоваться левой записью (отметим, что в книге используется правая). Произведение отображений ниже мы будем обозначать через f ϕ .
Замечание 1 . Из определения умножения отображений следует, что перемножать можно не любые отображения, а только те, у которых «средние» множества одинаковые. Например, если f : A → B ,ϕ : D → C , то при В=D можно перемножать отображения f и φ, а при В≠D нельзя.
Свойства умножения отображений
Определение 2 . Отображения f и g называются равными , если у них совпадают области определения и области значений, т.е. f : A → B , g : A → B и выполняется условие: a A справедливо
равенство f (a ) = g (a ) .
1. Умножение отображений некоммутативно. Другими словами, если fφ и φf существуют, то они не обязательно равны.
Пусть, например, множества A=B=C=R, f (x ) = sin x ,ϕ (x ) Рассмотрим произведения:
(ϕ f ) (x ) = ϕ (f (x )) = ϕ (sin x ) = e sin x ,
(f ϕ ) (x ) = f (ϕ (x )) = f (e x ) = sin(e x ).
Следовательно, функции fφ и φf различны.
2. Умножение отображений ассоциативно.
Пусть f : A → B , ϕ : B → C , ψ : C → D . Докажем, что (ψϕ ) f
E x , f : R → R, ϕ : R → R .
и ψ (ϕ f ) существуют и равны,т.е.(ψϕ ) f =
ψ (ϕ f ) . (1)
Очевидно, что (ψϕ ) f : A → D ,ψ (ϕ f ) : A → D .
Для доказательства равенства (1) в силу определения равенства отображений требуется проверить, чтоa A : ((ψϕ ) f ) (a ) = (ψ (ϕ f )) (a ) (2). Пользуясь определением умножения отображений (в левой записи)
((ψϕ )f )(a ) = (ψϕ )(f (a ) )= ψ (ϕ (f (a ) )), |
(ψ (ϕ f ))(a ) = ψ ((ϕ f )(a ) )= ψ (ϕ (f (a ) )). (4)
Т.к. в равенствах (3) и (4) равны правые части, то равны и левые, т.е. справедливо равенство (2), а тогда выполняется и (1).
Замечание 2. Ассоциативность умножения позволяет однозначно определить произведение трех, а затем и любого конечного числа множителей.
несколько прообразов в А, либо вообще не быть прообразов. Однако для биективного отображения f обратное определить можно.
Пусть f : A → B – биекция, f (a ) = b , a A , b B . Тогда для любого элемента b B по определению биекции существует единственный прообраз при отображении f – это элемент а. Теперь можно определить f − 1 : B → A , полагая f − 1 (b ) = a (b B ) . Нетрудно видеть, что f − 1 – биекция.
Итак, у всякого биективного отображения имеется обратное.
§3. Преобразования множеств
Всякое отображение f : A → A называется преобразованием множества А. В частности, любая
функция действительной переменной является преобразованием множества R.
Примерами преобразований множества точек плоскости служат поворот плоскости, симметрия относительно оси и т.д.
Так как преобразования – это частный случай отображений, то для них справедливо всё сказанное выше об отображениях. Но умножение преобразований множества А имеет и специфические свойства:
1. для любых преобразований f и φ множества А произведения fφ и φf существуют;
2. существует тождественное преобразование множества А ε : ε (a ) = a , a A .
Нетрудно видеть, что для любого преобразования f этого множества f ε = ε f = f , так как, например, (f ε ) (a ) = f (ε (a ) ) = f (a ) . Значит, преобразование ε играет роль единичного элемента при умножении преобразований.
равенства легко проверяются. Тем самым обратное преобразование играет роль обратного элемента при умножении преобразований.
Рассмотрим еще один важный частный случай общего понятия соответствия - отображения множеств. При соответствии R между множествами Х и Y образ элемента а Х может оказаться пустым, а может содержать и несколько элементов.
Отношение между элементами множеств Х и Y называется отображением Х в Y , если каждому элементу х из множества Х соответствует только один элемент множества Y . Этот элемент называют образом элемента х при данном отображении: f(x). На графе такого отображения из каждой точки множества Х будет выходить только одна стрелка (рис. 29).
Рассмотрим следующий пример. Пусть Х - множество студентов в аудитории, а Y - множество стульев в той же аудитории. Соответствие «студент х сидит на стуле у » задает отображение Х в Y . Образом студента х является стул.
Пусть Х = Y = N - множество натуральных чисел. Соответствие «десятичная запись числа х состоит из у цифр» определяет отображение N в N . При этом отображении числу 39 соответствует число 2, а числу 45981 - число 5(39 - двузначное число, 45981 - пятизначное).
Пусть Х - множество четырехугольников, Y - множество окружностей. Соответствие «четырехугольник х вписан в окружность у » не является отображением Х в Y , так как есть четырехугольники, которые нельзя вписать в окружность. Но в этом случае говорят, что получилось отображение из множества Х в множество Y .
Если отображение Х
в Y
таково, что каждый элемент y
из множества
Y
соответствует одному или нескольким элементам х
из множества Х
, то такое отображение называют отображением множества Х
на множество
Y
.
Множество Х называют областью определения отображения f: XY, а множество Y - областью прибытия этого отображения. Часть области прибытия, состоящая из всех образов y из множества Y, называется множеством значений отображения f.
Если y=f(x), то х называют прообразом элемента у при отображении f . Множество всех прообразов элемента у называют его полным прообразом: f (y).
Отображения бывают следующих видов: инъективными, сюръективными и биективными.
Если полный прообраз каждого элемента yY содержит не более одного элемента (может быть и пустым), то такие отображения называют инъективными.
Отображения XY такие, что f(X)=Y , называют отображениями Х на все множество Y или сюръективными (из каждой точки множества Х выходит стрелка, а после изменения направления в каждой точке множества Х заканчивается) (рис. 31).
Если отображение инъективно и сюръективно, то его называют взаимно однозначным или биективным.
Отображение множества Х на множество называется биективным , если каждому элементу х Х соответствует единственный элемент yY, а каждый элемент yY соответствует только одному элементу х Х (рис. 32).
Биективные отображения порождают равномощные (эквивалентные) множества: X~Y.
Пример . Пусть - Х множество пальто в гардеробе, Y - множество крючков там же. Поставим в соответствие каждому пальто крючок, на котором оно висит. Это соответствие является отображением Х в Y. Оно инъективно, если ни на одном крючке не висит более одного пальто или некоторые крючки свободны. Данное отображение сюръективно, если все крючки заняты или на некоторых висят несколько пальто. Оно будет биективным, если на каждом крючке висит только одно пальто.
Сюръекция, инъекция и биекция
Правило, задающее отображение f: X (или функцию /), можно условно изобразить стрелками (рис. 2.1). Бели в множестве У есть хотя бы один элемент) на который не указывает ни одна из стрелок, то это свидетельствует о том, что область значений функции f не заполняет все множество У, т.е. f(X) С У.
Если же область значений / совпадает с У, т.е. f{X) = У, то такую функцию называют сюръективной} или короче - сюръекцией, и говорят, что функция / отображает множество X на множество У (в отличие от общего случая отображения множества X в множество У согласно определению 2.1). Итак, / : X есть сюръекция, если Vy 6 У Зх € X: /(х) = у. На рисунке в таком случае к каждому элементу множества У ведет хотя бы одна стрелка (рис. 2.2). При этом к некоторым элементам из У могут вести несколько стрелок. Если к любому элементу у € У ведет не более одной стрелки, то / называют инъективной функцией, или инъекцией. Эта функция не обязательно сюръективна, т.е. стрелки ведут не ко всем элементам множества У (рис. 2.3).
- Итак, функция /: X -У У представляет собой инъекцию, если два любых различных элемента из X имеют своими образами при отображении / два различных элемента из У, или Vy £ f{X) С У 3хеХ: f{x) = y. Сюръекция, инъекция и биекция. Обратное отображение. Композиция отображений произведение множеств. График отображения. Отображение /: X->У именуют биективным, или би-екцией, если каждый элемент у 6 У является образом некоторого и призом единственного элемента из X, т.е. Vy € f(X) = У Э!х € X: f(x) = у.
В частном случае множества X и У могут совпадать (X = У). Тогда биективная функция будет осуществлять отображение множества X на себл. Биекцию множества на себя называют также пре-образов анием. 2.3. Обратное отображение Пусть /: X -? У - некоторая биекция и пусть у € У. Обозначим через /_1(у) единственный элемент х€Х, такой, что /(г) = у. Тем самым мы определим некоторое отображение 9: Y Xу которое является снова биекцией. Ее называют обратным отображением, или обратной биекцией к /. Часто ее также называют просто обратной функцией и обозначают /"*. На рис. 2.5 функция д как раз и является обратной к /, т.е. д = f"1.
Примеры решения в задачах
Отображения (функции) / и являются взаимно обратными. Ясно, что>если функция не является биекцией, то обратной к ней функции не существует. Действительно, если / не инъек-тивна, то некоторому элементу у € У могут соответствовать несколько элементов х из множества X, что противоречит определению функции. Если же / не сюръективна, то в У найдутся элементы, для которых в X нет прообразов, т.е. для этих элементов обратная функция не определена. Пример 2.1. а. Пусть X = У = R - ^комсество действительных чисел. Функция /, определяемая формулой у = За - 2, я,у € R, является биекцией. Обратной функцией будет х = (у + 2)/3. б. Действительная функция f(x) = х2 действительного переменного х не является сюръективной, поскольку отрицаг тельные числа из У = R не являются образами элементов из Х=К при /: ЛГ->У. Пример 2.2. Пусть Л" = R, а У = R+ - множество положительных действительных чисел. Функция f(x) = ах, а > 0, аф 1, является биекцией. Обратной функцией будет Z"1 (У) = 1°8а У
- Сюръекция, инъекция и биекция. Обратное отображение. Композиция отображений произведение множеств. График отображения. 2.4. Композиция отображений Если f:X-*Y и g:Y-*Zy то отображение (р:Х -+Z, заданное для каждого а: 6 А" формулой =, именуют композицией (суперпозицией) отображений (функций) / и д> или сложной функцией, и обозначают ро/ (рис. 2.6).
- Таким образом, сложная функция до f реализует правило: я Применяй сначала /, а затем ди, т.е. в композиции операций «до/ надо начинать с операции /, расположенной справа. Отметим, что композиция Рис. 2.6 отображений ассоциативна, т.е.если /: X -+Y , д: Y Z и h: Z-*H> то тогда (hog)of = = ho(gof)i что проще записывают в виде ho до /. Проверим это следующим образом: На любом wK«oaicecmee X определено отображение 1х -X X, называемое тождественным, обозначаемое часто также idx и задаваемое формулой Ix(x) = x Vx € А". Его -действие состоит в том, что оно оставляет все на своих местах.
Каждой точке М можно поставить в соответствие пару (я, у) действительных чисел где х - координата точки Мх на ко-ординатной оси Ох, а у - координата точки Му на координатной оси Оу. Точки Мх и Му являются основаниями перпендикуляров, опущенных из точки М соответственно на оси Ох и Оу. Числа х и у называют координатами точки М (в выбранной системе координат), причем х называют абсциссой точки М, а у - ординатой этой точки. Очевидно, что каждой паре (а, Ь) действительных чисел а, 6 6R соответствует на плоскости точка М, имеющая эти числа своими координатами. И обратно, каждой точке М плоскости соответствует пара (а, 6) действительных чисел а и 6. В общем случае пары (а, Ь) и (6, а) определяют разные точки, т.е. существенно, какое из двух чисел а и b стоит в обозначении пары на первом месте. Таким образом, речь идет об упорядоченной паре. В связи с этим пары (а, 6) и (6, а) считают равными между собой, и они определяют одну и ту же точку на плоскости, если только а = 6. Сюръекция, инъекция и биекция. Обратное отображение.
Композиция отображений произведение множеств. График отображения. Множество всех пар действительных чисел, а также множество точек плоскости обозначают R2. Это обозначение связано с важным в теории множеств понятием прямого (или дек ар-това) произведения множеств (часто говорят просто о произведении множеств). Определение 2.2. Произведением множеств А и В называют множество Ах В возможных упорядоченных пар (ж, у), где первый элемент взят из А, а второй - из В, так что Равенство двух пар (х, у) и (&", у") определяют условиями х = х" и у = у7. Пары (я, у) и (у, х) считают различными, если хфу. Это особенно важно иметь в виду, когда множества А и В совпадают. Поэтому в общем случае А х В ф В х Л, т.е. произведение произвольных множеств не коммутативно, но оно дистрибутивно по отношению к объединению, пересечению и разности множеств: где обозначает одну из трех названных операций. Произведение множеств существенно отличается от указанных операций над двумя множествами. Результатом выполнения этих операций является множество, элементы которого (если оно не пустое) принадлежат одному или обоим исходным множествам. Элементы же произведения множеств принадлежат новому множеству и представляют собой объекты иного рода по сравнению с элементами исходных множеств. Аналогично определению 2.2
Можно ввести понятие произведения более чем двух множеств. Множества (А х В) х С и А*х (В х С) отождествляют и обозначают просто А х В х С, так что. Произведения Ах Ау Ах Ах А и т.д. обозначают, как правило, через А2 , А3 и т.д. Очевидно, плоскость R2 можно рассматривать как произведение R х R двух экземпляров множества действительных чисел (отсюда и происходит обозначение множества точек плоскости как произведения двух множеств точек числовой прямой). Множеству точек геометрического (трехмерного) пространства соответствует произведение R х R х R трех экземпляров множества точек числовой прямой, обозначаемое R3.
- Произведение п множеств действительных чисел обозначают Rn. Это множество представляет собой всевозможные наборы (xj, Х2, хп) из п действительных чисел Х2) хп £ R, а любая точка х* из Rn есть такой набор (xj, х, х*) действительных чисел хп € К*
- Произведение п произвольных множеств есть множество упорядоченных наборов из п (в общем случае разнородных) элементов. Для таких наборов употребляют названия кортеж или n-ка (произносят „энка"). Пример 2.3. Пусть А = { 1, 2} и В = {1, 2}. Тогда, и множество А х В можно отождествить с четырьмя точками плоскости R2, координаты которых указаны при перечислении элементов этого множества. Если С={ 1,2} и D={3,4}, то. Пример 2.4. Пусть Тогда Геометрическая интерпретация множеств Е х F и F х Е представлена на рис. 2.8. # Для отображения /: X можно составить множество упорядоченных пар (г, у), которое является подмножеством прямого произведения X х У.
- Такое множество называют графиком отображения f (или графиком функции я*»- Пример 2.5. В случае XCR и Y = К каждая упорядоченная пара задает координаты точки на плоскости R2. Если при этом X является промежутком числовой прямой R, то график функции может представлять некоторую линию (рис. 2.9). Пример 2.6. Ясно, что при XCR2 и У = R график функции есть некоторое множество точек в R3, которое может представлять некоторую поверхность (рис. 2.10).
Соответствие между множествами А и В называется подмножество их декартова произведения
Иными словами, пары задают соответствие между множествами А={ } и В={ }, если указано правило R, по которому для элемента множества А выбирается элемент из множества В.
Если элементу поставлен в соответствие некоторый элемент , b называется образом элемента а и записывается так: b= R (a). Тогда - прообраз элемента , который обладает свойствами единственности и полноты:
1. Каждому прообразу соответствует единственный образ;
2. Образ должен быть полным, так же как полным должен быть и прообраз.
Пример. Если А – множество парабол, В – множество точек плоскости, а R – соответствие “вершина параболы”, то R (а) – точка, являющая вершиной параболы a, а состоит из всех парабол с вершиной в точке b (рис. 6)
Образ множества А при соответствии R называется множеством значений этого соответствия и обозначается R (A), если R (A) состоит из образов всех элементов множества А.
Прообраз множества В при некотором соответствии R называют областью определения этого соответствия и обозначают . В свою очередь является обратным соответствием для R.
Так, для соответствия R, заданного точками координатной плоскости, областью определения является множество точек оси абсцисс, а множеством значений – проекции точек на ось ординат (рис.7). Поэтому для некоторой точки
М (х, у) у является образом, а х – прообразом при некотором соответствии R: У=R (x), Соответствие между множествами Х, удобно в виде точки на плоскости с помощью метода декартовых координат.
Пусть задано соответствие R и Y=R (X). Ему соответствуют точки М с координатами (х; у) (рис. 7). Тогда множество точек плоскости, выделяемое отображением R, будет графиком.
Для описания соответствий между множествами используют понятие отображение (функции) одного множества на другое.
Для задания отображения необходимо указать:
1. Множество, которое отображается (область определения данного отображения, часто обозначаются );
2. Множество, в (на) которое отображается данная область определения (множество значений этого отображения, часто обозначается );
3. Закон или соответствие между этими множествами, по которому для элементов первого множества (прообразов, аргументов) выбраны элементы (образы) из второго множества.
Обозначения: .
Способы задания отображений: аналитический (в виде формул), табличный , графический (диаграммы или графы).
Различают два основных вида однозначных отображений (функций). По мощности они делятся на сюръективные и инъективные .
1. Соответствие, при котором каждому элементу множества А указан единственный элемент множества В, а каждому элементу множества В можно указать хотя бы один элемент множества А, называется отображением множества А на множество В (сюръекция).
2. Соответствие, при котором каждому элементу множества А соответствует единственный элемент множества В, а каждому элементу В соответствует не более одного прообраза из А, называется отображением множества А во множество В (инъекция).
Отображение множества А на множество В, при котором каждому элементу множества В соответствует единственный элемент множества А, называется взаимно – однозначным соответствием между двумя множествами, или биекцией .инъекцией и сюръекцией .
Большую роль в математике имеет установление связей между двумя множествами и , связанное с рассмотрением пар объектов, образованных из элементов первого множества и соответствующих элементов второго множества. Особое значение при этом имеет отображение множеств.
Пусть - произвольные множества. Отображением множества X в множество Y называется всякое правило f , по которому каждому элементу множества сопоставляется вполне определенный (единственный) элемент множества .
Тот факт, что f есть отображение , кратко записывают в виде: .
Применяют также обозначение . Чаще отображения обозначают буквами f , q , F .
Итак, чтобы задать отображение множества Х в множество , надо каждому элементу поставить в соответствие один и только один элемент .
Если при этом элементу х из Х сопоставлен элемент из Y , то называют образом элементах , а х – прообразом элемента при отображении , что записывается в виде .
Из определения отображения следует, что у каждого элемента из Х образ единственный, однако для элемента прообразов может быть много, а может и вообще не быть. Множество всех прообразов элемента называется его полным прообразом и обозначается через . Таким образом, .
Естественным путем определяются образ подмножества из А и прообраз подмножества из В при отображении :
Например , пусть и - отображение А в А , сопоставляющее каждому элементу а из А остаток от деления а на число 4. Тогда имеем:
В зависимости от свойств, образов и прообразов различают отображения сюръективные, инъективные и биективные.
Отображение называется сюръективным , если , т.е. каждый элемент из отображается хотя бы один элемент из Х , или при любом .
Отображение называется инъективным , если разные элементы множества Х отображаются в разные элементы множества т.е. , или является либо пустым, либо одноэлементным множеством при любом . Инъективные отображения называются также вложениями .
Отображение называется биективным , или взаимно однозначным отображением на , если оно сюръективно и инъективно, т.е. если есть одноэлементное множество при любом . В этом случае можно определить отображения , положив для любого : . Оно называетсяобратным к и обозначается в виде .
Изобразим для наглядности виды отображений.
Сюръективное Инъективное Биективное
Рисунок 12
Отображение множества А в себя называется преобразованием множества А . Биективное преобразование множества А называется подстановкой множества А .
Примером подстановки множества целых чисел может служить отображение , определенное равенством .
Заметим еще, что отображение множества А в В называют также функцией , заданной на множестве А со значениями в множестве В . При этом элемент называют значением функции точке а . Само множество А называют областью определения функции , а множество - областью значений функции .
Функцию зачастую трактуют как переменную величину , принимающую значения из В и так зависящую от переменной величины х , принимающей значения из А , что каждому значению а переменной величины х соответствует вполне определенное значение величины . При этом пишут и вместо «функция » говорят «функция ».
Рассмотрим различные отображения и определим их виды .
1) Пусть Х – множество окружностей на плоскости. Сопоставляя каждой окружности ее центр, получим отображение Х на . Это отображение не является инъективным, поскольку одна и та же точка может быть центром бесконечного множества окружностей. Но оно сюръективно, так как любая точка – центр некоторой окружности. Поэтому обратное соответствие всюду определено, сюръективно, но не функционально.
2) Соответствие является числовой функцией заданной на всем множестве действительных чисел. Множеством значений этой функции является совокупность неотрицательных чисел. Так как , то функция не сюръективна. Она и не инъективна, так как . Поэтому она не имеет обратной функции.
3) Отображение сюръективно и инъективно: для любого есть одно и только одно число такое, что . Этим числом является .
4) Отображение ( - множество неотрицательных чисел) множества в себя всюду определено, инъективно, но не сюръективно. Действительно, для дроби , выполнено .
Поэтому множеством значений этой функции является промежуток . Обратная функция определена на этом промежутке и принимает неотрицательные значения.
5) Отображение , определенное правилом является инъективным отображением. Оно не является биективным, поскольку . Однако, если таким же образом определить отображение в , то получим биективное отображение. . ; из сюръективности следует сюръективность лишь , а из инъективности следует инъективность лишь .
3. Если и - преобразования множества А , то их композиция также является преобразованием множества А .